Le paradoxe de Condorcet

15-03-2022 SOCIETE LIBRE
Dans moins d'un mois aura lieu l'élection présidentielle, moment politique le plus important de notre pays. C'est la raison pour laquelle j'ai choisi de vous parler du paradoxe de Condorcet. Cette loi mathématique appliquée au vote, révèle que la préférence collective contredit les préférences individuelles agrégées avec une probabilité proche de 9%. Il manque bien sûr quelques ingrédients à cette recette qui peut paraître tarabiscotée, mais qui ne l'est pas.

Il s'agit d'un problème logique qui se révèle aujourd'hui éclairant pour penser une dimension de la "crise de la représentation", celle de l'importance du mode d'expression des préférences.

Nicolas de Condorcet (1) a énoncé cette loi en 1785, dans son "Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix". Cette méthode s'applique dès lors qu'il y a un nombre de votants supérieur à 10 et qu'ils se ventilent de manière purement probabiliste entre trois options ou plus. Autrement dit, on a une intransitivité possible de la majorité (aucun lien entre les termes), la majorité arithmétique ne traduit pas effectivement la volonté générale.

Nicolas de Condorcet considérait que demander aux électeurs de choisir un candidat n'était pas une opération satisfaisante. Selon lui, il fallait demander plus d'informations aux électeurs pour mettre en oeuvre une méthode de vote qui produise un résultat qui ait du sens. Une conclusion qui l'a conduit à une évidence (à ses yeux) : il ne faut pas demander aux électeurs de choisir un candidat, mais de les classer entre eux.

Ainsi il est demandé à chaque électeur de dresser une liste de préférences qui comporte les noms des candidats, dans un ordre décroissant du préféré au déprécié. Mais c'est surtout au moment d'agréger les informations fournies par l'électeur que la méthode de Condorcet devient originale. En effet, elle vise à exploiter toute l'information fournie par l'ensemble des listes de préférences de tous les électeurs.

Puisqu'une liste permet de savoir si un électeur préfère un candidat à un autre, l'ensemble des listes détache une majorité d'électeurs qui préfèrent le candidat A au candidat B, ou au contraire une majorité d'électeurs préférant le candidat B au candidat A. L'application de la méthode de Condorcet consiste donc à procéder à toutes les comparaisons possibles entre paires de candidats.

Pour Condorcet, si un candidat bat tous ses concurrents, c'est que ce candidat mérite de gagner et devient alors le "gagnant de Condorcet". Et c'est là que le paradoxe intervient. Quel que soit le mode de scrutin utilisé pour désigner le vainqueur, il y aura toujours une majorité de la population qui sera prête à le changer pour un autre.

Aucun vainqueur n'est indiscutable car une élection ne dépend absolument pas du mode de scrutin, juste des préférences respectives des uns et des autres. Une première analyse pourrait nous laisser penser que le paradoxe de Condorcet n'est pas un paradoxe de la démocratie. Il provient uniquement du fait que l'on analyse les candidats qu'en termes de préférence relative, l'un par rapport à l'autre.

Prenons l'exemple du football. Si dans une poule de championnat du monde, la France bat l'Allemagne qui à son tour bat le Brésil qui de son côté bat l'Italie qui in fine bat la France, qui est qualifié ? On doit donc aller plus loin et considérer par exemple, pour départager les équipes, le nombre de buts marqués par chaque équipe. Mais, ce complément permet-il réellement de désigner la meilleure équipe ?

Ceci correspond exactement au paradoxe de Condorcet : n'importe lequel des candidats aurait pu être élu, ou aucun, puisqu'il n'est pas possible de trancher d'une manière qui respecte les préférences exprimées par les électeurs. Ainsi, si on appliquait son raisonnement en France, le scrutin uninominal majoritaire à deux tours pourrait faire arriver seulement en troisième place un candidat qui pourtant battrait en duel les deux qualifiés du second tour.

En savoir plus
Des mathématiques pour améliorer la démocratie - Etude du paradoxe de Condorcet par Normale Sup

(1) Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet

Le théorème d'impossibilité de Kenneth Arrow
Kenneth Arrow (1921-2017), récompensé pour sa carrière par le prix Nobel d'économie en 1972, est l'un des principaux contributeurs à la théorie du choix social. En 1951, il démontre qu'il ne peut pas exister de système de vote qui donne des résultats cohérents si on demande aux électeurs de comparer les candidats. Or, choisir un candidat suppose de comparer les candidats entre eux. Le scrutin uninominal, que nous utilisons, tombe donc sous le coup de ce théorème d'impossibilité. C'est chose préoccupante, car ces incohérences portent à conséquence : les résultats des élections ne suivent pas les opinions des électeurs, et peuvent être manipulés, y compris par les candidats eux-mêmes.
Kenneth Arrow - Son théorème d'impossibilité



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